Российский математик Иван Ремизов совершил прорыв в одной из старейших областей науки, найдя аналитический способ решения класса дифференциальных уравнений, который считался нерешаемым почти два столетия.
Как сообщает корреспондент сетевого издания «Белновости» со ссылкой на «ТАСС», старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и Института проблем передачи информации РАН вывел универсальную формулу, радикально меняющую подход к фундаментальным задачам в физике и экономике.
Проблема берет начало в 1834 году, когда французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами невозможно выразить через их коэффициенты с помощью стандартного набора математических операций – сложения, умножения, элементарных функций и интегралов.
Эти уравнения описывают бесчисленное количество процессов в природе и технике: от колебаний маятника и движения спутников до квантовых систем и экономических моделей.
С тех пор поиск общей решающей формулы, подобной школьной для квадратных уравнений, считался математическим сообществом безнадежным делом.
Ремизов предложил изящный выход, не оспаривая выводы Лиувилля, но расширив математический «инструментарий».
Классический набор операций он дополнил операцией нахождения предела последовательности.
В основе его метода лежит теория аппроксимаций Чернова: сложный, изменчивый процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов-приближений.
По отдельности они дают лишь фрагмент картины, но в пределе бесшовно соединяются в точное решение.
Ключевым итогом становится применение к этим шагам преобразования Лапласа, которое «переводи» задачу на язык алгебры и позволяет собрать окончательный результат – резольвенту уравнения.
«Представьте, что искомое решение уравнения – это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Наша теорема позволяет "нарезать" этот процесс на множество маленьких простых кадров... восстановить облик, быстро прокручивая "киноленту" ее создания», – поясняет суть своего метода Иван Ремизов.
Открытие имеет далеко идущие последствия.
Оно впервые позволяет задавать явными формулами так называемые специальные функции, такие как функции Матье и Хилла, которые критически важны для расчета орбит спутников или поведения частиц в коллайдерах.
Раньше эти функции могли быть определены только как «то, что является решением конкретного сложного уравнения».
Кроме того, работа создает неожиданный мост между классической математикой и квантовой механикой.
Ремизов впервые представил решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде, аналогичном знаменитым интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, используемым для описания движения квантовых частиц.
Результаты исследования, которое ученый проводил совместно с коллегой Олегом Галкиным, опубликованы во «Владикавказском математическом журнале».
Открытие не только предоставляет новый мощный инструмент для точных и инженерных наук, но и заново открывает целое направление в математике, которое почти два века считалось закрытым.
Автор: Виталий Кистерный
